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Je serais bref !

L'origine de notre gamme à 7 notes n'est pas connue, mais elle remonte à l'antiquité. Les Grecs savaient que la hauteur du son produit par une corde vibrante dépend  de sa longueur: ils avaient reconnu qu'en diminuant de moitié la longueur de la corde, la hauteur montait toujours d'un même intervalle parfaitement consonant (appelé depuis Octave).

De même en diminuant la longueur d'un tiers seulement, le son montait d'un intervalle plus petit, le plus consonant après l'octave (Quinte).

Ces deux intervalles séparent donc les sons produits par deux cordes dont les longueurs sont respectivement dans les rapports de 1 à 2 et de 2 à 3.

La relation entre consonance et rapports simples jouait d’ailleurs un grand rôle dans la doctrine Pythagoricienne.

La tradition attribue à Pythagore (VIème siècle avant J-C) la fixation des rapports des longueurs des cordes définissant les diverses notes de la gamme ; ces rapports sont établis par la seule considération des intervalles d’octave et de quinte et sont naturellement les inverses des rapports de fréquence.

Les intervalles musicaux (Seconde, Tierce, Quarte, Quinte, Sixte, Septième, Octave) ont reçu leur nom par référence à cette série de 7 notes, complétée par une huitième qui complète la première et qui est le point de départ d’une gamme identique.

Le tableau ci-dessous donne les fréquences des notes successives de la gamme de Pythagore en les rapportant à celle de la première note.

Et maintenant,

Extrapolons Pythagore :

Ces fractions représentent les valeurs des fréquences de chaque note en prenant pour référence Do₁ = 1

(Pour obtenir les valeurs des fréquences de la gamme suivante, il suffit de multiplier par 2 chaque fraction)

Elles vont nous permettre de donner une valeur mathématique à chaque type d’intervalle.

Ainsi, le rapport de Seconde (2 ½ tons) que l’on retrouve entre ré et do, entre mi et ré, entre sol et fa, entre la et sol et entre si et la est égal à 9/8.

Démonstration :

Ré/Do = 9/8 divisé par 1 = 9/8 = 1,125

Mi/Ré  = 81/64 divisé par 9/8 = 81x8/64x9 = 648/576 = 9/8 = 1,125

Sol/Fa = 3/2 divisé par 4/3 = 3x3/2x4 = 9/8 = 1,125

La/Sol = 27/16 divisé par 3/2 = 27x2/16x3 = 54/48 = 9/8 = 1,125

Si/La = 243/128 divisé par 27/16 = 243x16/128x27 = 3888/3456 = 9/8 = 1,125

Le rapport 9/8 peut également s’écrire sous forme de fraction de puissance de 2 et de 3, soit :  3²/2³

Continuons avec le rapport de Tierce (4 ½ tons) :

Mi/Do = 81/64 divisé par 1 = 81/64 = 1,265625

La/Fa = 27/16 divisé par 4/3 = 27x3/16x4 = 81/64 = 1,265625

Si/Sol = 243/128 divisé par 3/2 = 243x2/128x3 = 486/384 = 81/64 = 1,265625

Le rapport 81/64 peut également s’écrire sous la forme 3⁴/2⁶

Idem pour le rapport de Quarte (5 ½ tons) :

Fa/Do = 4/3 divisé par 1 = 4/3 = 1,33333333…

Sol/Ré = 3/2 divisé par 9/8 = 3x8/2x9 = 24/18 = 4/3 = 1,33333333…

La/Mi = 27/16 divisé par 81/64 = 27x64/16x81 = 1728/1296 = 4/3 = 1,33333333…

Do₂/Sol = 2 divisé par 3/2 = 2x2/3 = 4/3 = 1,33333333…

Le rapport 4/3 peut également s’écrire sous la forme 2²/3¹

Passons au rapport de Quinte (7 ½ tons) :

Sol/Do = 3/2 divisé par 1 = 3/2 = 1,5

La/Ré = 27/16 divisé par 9/8 = 27x8/16x9 = 216/144 = 3/2 = 1,5

Si/Mi = 243/128 divisé par 81/64 = 243x64/128x81 = 15552/10368 = 3/2 = 1,5

Do₂/Fa = 2 divisé par 4/3 = 2x3/4 = 6/4 = 3/2 = 1,5

Ré₂/Sol = 2 x 9/8 divisé par 3/2 = 18x2/8x3 = 36/24  = 3/2 = 1,5

Le rapport 3/2 peut également s’écrire sous la forme 3¹/2¹

Et pour finir, le rapport de Sixte (9 ½ tons) :

La/Do = 27/16 divisé par 1 = 27/16 = 1,6875

Si/Ré = 243/128 divisé par 9/8 = 243x8/128x9 = 1944/1152 = 27/16 = 1,6875

Ré₂/Fa = 2 x 9/8 divisé par 4/3 = 18x3/8x4 = 54/32 = 27/16 = 1,6875

Le rapport 27/16 peut également s’écrire sous la forme 3³/2⁴

Ça va, vous suivez ?

Nous pouvons également appliquer ces calculs aux autres intervalles de la gamme de Pythagore qui n’apparaissent pas sur le tableau sous forme de fraction mais que l’on peut aisément déduire :

Par exemple le rapport de Seconde mineure (1 ½ ton) :

On le trouve entre le Fa et le Mi, et entre le Do et le Si :

Fa/Mi = 4/3 divisé par 81/64 = 4x64/3x81 = 256/243 = 1,053497942

Do₂/Si = 2 divisé par 243/128 = 2x128/243 = 256/243 = 1.053497942

Le rapport 256/243 pouvant également s’écrire sous la forme 2⁸/3⁵

Le rapport de Tierce mineure (3 ½ tons) :

Fa/Ré = 4/3 divisé par 9/8 = 4x8/3x9 = 32/27 = 1,185185185…

Sol/Mi = 3/2 divisé par 81/64 = 3x64/2x81 = 192/162 = 32/27 = 1,185185185…

Do₂/La = 2 divisé par 27/16 = 2x16/27 = 32/27 = 1,185185185…

Le rapport 32/27 pouvant également s’écrire sous la forme 2⁵/3³

Le rapport de Quinte diminuée également appelé « Triton » ou « Diabolus in Musica » car particulièrement dissonant :

Si/Fa = 243/128 divisé par 4/3 = 243x3/128x4 = 729/512 = 1,423828125

Rapport que l’on retrouve entre le Fa de la gamme supérieure (Fa₂ = 4/3 x 2 = 8/3) et le Si de notre gamme :

Fa₂/Si = 8/3 divisé par 243/128 = 8x128/3x243 = 1024/729 = 1,404663923

Ici, cas particulier, bien que très proches, les 2 rapports de Quinte diminuée n’ont pas la même valeur :

729/512 = 3⁶/2⁹

Et

1024/729 = 2¹⁰/3⁶

Le diable  serait-il effectivement passé par là ?

Petite curiosité mathématique :

Si/Fa x Fa/Si = 7929/512 x 1024/729 = 2

Le rapport de Quinte augmentée (8 ½ tons) :

Do₂/Mi = 2 divisé par 81/64 = 2x64/81 = 128/81 = 1,5802…

Fa₂/La = 2 x 4/3 divisé par 27/16 = 8x16/3x27 = 128/81 = 1.5802…

Sol₂/Si = 2 x 3/2 divisé par 243/128 = 6x128/2x243 = 768/486 = 128/81 = 1,5802

Le rapport 128/81 pouvant également s’écrire sous la forme 2⁷/3⁴

Le rapport de Septième (mineure) (10 ½ tons) :

Do₂/Ré = 2 divisé par 9/8 = 2x8/9 = 16/9 = 1,7777777…

Ré₂/Mi = 2 x 9/8 divisé par 81/64 = 18x64/8x81 = 1152/648 = 16/9 = 1,7777777…

 Fa₂/Sol = 2 x 4/3 divisé par 3/2 = 8x2/3x3 = 16/9 = 1,7777777…

Sol₂/La = 2x 3/2 divisé par 27/16 = 6x16/2x27 = 96/54 = 16/9 = 1,7777777…

Le rapport 16/9 pouvant également s’écrire sous la forme 2⁴/3²

Le rapport de Septième Majeure (11 ½ tons) :

Si/Do = 243/128 divisé par 1 = 243/128 = 1,8984375

Mi₂/Fa = 2x 81/64 divisé par 4/3 = 162x3/64x4 = 486/256 = 243/128 = 1,8984375

Le rapport 243/128 pouvant également s’écrire sous la forme 3⁵/2⁷

Et enfin, le plus facile pour la fin ; le rapport d’Octave (12 ½ tons)

Do₂/Do₁ = 2 divisé par 1 = 2/1 = 2

Le rapport 2/1 pouvant également s’écrire sous la forme 2¹/3⁰

Nous voyons donc que les valeurs des fréquences des intervalles musicaux peuvent tous s’écrire sous la forme de fractions de puissances de 2 et de 3.

Afin de pouvoir comparer ces valeurs, il convient de choisir le même numérateur et le même dénominateur pour toutes les fractions, soit 2^x/3^y, soit 3^x/2^y au choix.

Un tableau nous permettra d’y voir plus clair :

Ainsi, nous avons respecté l’architecture pythagoricienne de la gamme à 7 notes tout en l’étendant à 5 notes supplémentaires qui correspondent à nos altérations (Dièses et Bémols).

Le Seul « Hic », c’est cette Quinte Diminuée qui se dédouble selon que l’on calcule sa valeur en partant du Si₁ ou du Fa_2.

En fait cette apparente anomalie n’est que la partie visible de l’iceberg : Si nous nous amusons à faire le même calcul pour de nouveaux intervalles musicaux en nous dirigeant vers les fréquences plus basses (et non plus vers les plus hautes), nous allons obtenir des valeurs proches mais différentes de celles qui figurent dans le tableau.

En d’autres Termes un intervalle musical calculé en montant pour obtenir la fréquence d’une note n’est pas proportionnel à celui calculé en descendant pour obtenir la même note située une ou plusieurs octaves plus bas.

En effet la gamme de Pythagore est construite en multipliant la valeur d’une fréquence de référence par un coefficient qui est une puissance de 3/2, soit la valeur de la fréquence de l’intervalle de Quinte, puis en ramenant la valeur obtenu dans les limites de la gamme de référence en la divisant par le nombre d’Octaves la séparant de cette gamme de référence.

Un tableau s’impose, je crois

Partez pas, j’ai pas fini !!!

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