Fractales

LES FRACTALES

Curiosité géométrique depuis fort longtemps, théorie mathématique à part entière depuis peu, la science des fractales est aujourd'hui un outil précieux pour analyser divers phénomènes naturels ou géométriques.

Trois siècles avant J.-C. déjà, Apollonius de Perge, disciple d'Archimède, avait quelque peu mystifié ses contemporains avec sa « baderne », triangle curviligne bourré de cercles de plus en plus petits tendant à remplir l'espace.
L'aire restante est-elle vraiment réduite à rien ?
Voilà la question qui intriguait les géomètres de l'époque, médusés devant ce premier objet fractal, forme géométrique où, comme le dira plus tard Benoît Mandelbrot, « chaque partie est une image réduite du tout ».
 

Baderne d'Appolonius

Vers 1500, le graveur géomètre de la Renaissance Albrecht Dürer invente un autre objet fractal fait de pentagones emboîtés, puis, vers la fin du XIXè siècle vient Cantor, avec sa « poussière », que vous reconstituerez aisément.
Vous partez d'un segment, vous lui ôtez le tiers central, puis vous recommencez avec chacun des deux segments restants, et ainsi de suite...

Pentagones de Dürer
 

Poussière de Cantor

Presque simultanément, vers 1890, voici Peano et sa courbe qui se densifie au fur et à mesure de sa construction.
 

Courbe de Péano

Vous pouvez aussi, avec l'algorithme utilisé par Cantor construire le fameux « flocon de neige », comme le fit Helge von Koch en 1904 : dans un triangle équilatéral vous remplacez le tiers central de chaque côté par un petit triangle construit à l'extérieur, etc.. .Courbe étrange qui, tenant tout entière dans une surface finie, a pourtant un périmètre infini.
 

Flocon de neige de Cantor

Par la suite, des mathématiciens comme Sierpinski (1915) vont créer à l'aide d'algorithmes empiriques des formes fractales diverses en dimensions deux ou trois : « carpette » ou « éponge » de Sierpinski, obtenus en ôtant d'un carré le carré central ou d'un cube le cube central et en itérant l'opération.
 

Carpette de Sierpinski

Eponge de Sierpinski

D'autres mathématiciens précurseurs se sont mis à fabriquer des objets fractals de nouvelle génération en itérant des polynômes complexes.
Le mathématicien Julia eut l'idée de construire une fractale sur la base d'une fonction complexe

On obtient, pour diverses valeur de la fonction, des formes différentes d'ensembles de Julia.

Indépendamment de Julia, le mathématicien Fatou étudia également vers 1919-1920 des itérations de polynômes complexes.

Les travaux de Julia font l'objet d'un séminaire à Berlin en 1925 à partir duquel Brauer, Hopft et Reidmeister vont rédiger un essai sur ce thème.
On y trouve la première représentation graphique de l'ensemble de Julia.

L' absence d'ordinateur ne permettait pas encore de colorier les points comme on le fait aujourd'hui : noir pour les points de départ ne donnant pas lieu à divergence, colorés de façons différentes selon le nombre d'itérations nécessaires pour observer la divergence pour les autres, donnant ces dessins d'auréoles fantastiques pour nous si évocateurs des fractales.

Malgré leur aspect visionnaire, les travaux de Julia sont cependant abandonnés et ils devront attendre Mandelbrot et l'informatique pour émerger plus tard.
 

On peut toutefois rendre grâce à ces mathématiciens précurseurs qui ont travaillé sur ces itérations de polynômes complexes: ils ont ouvert la route à la science des fractales.

Fractale de Julia

L'acte de naissance véritable des fractales date de 1975, avec la publication du livre de Mandelbrot « Les Objets Fractals ».

Fractale de Mandelbrot

Benoît Mandelbrot, mathématicien français, a travaillé au début de sa carrière sur des applications originales de la théorie de l’information, puis développé ensuite une nouvelle classe d’objets mathématiques : les objets fractals, ou fractales.
 

Il signe en 1973 dans une revue d’économie un article au titre bien prudent : Formes nouvelles du hasard dans les sciences.
 

Il cite des exemples pris dans des domaines inattendus : les crues du Nil, la forme des nuages, celle des fleuves.
 

Il y arrive brillamment à la conclusion qu'il n'y pas une forme de hasard qui conduirait toujours à une égalisation par la loi des grands nombres:
les sphères ou les triangles sont considérés comme des objets acceptables par les mathématiciens de l’époque, mais pas les nuages ni les arbres (du moins en tant qu’objets géométriques).
 

Les mathématiques de cette époque restent muettes sur les monstres.
 

Or, ajoute Mandelbrot, c’est l’essentiel des phénomènes de la nature qui obéissent à cet autre type de hasard où l’on ne peut appliquer la loi des grands nombres.
 

Le modèle standard nous fait passer à côté de la plus grande partie de la réalité, et va jusqu’à nous empêcher même de la voir.
 

Il cite alors comme exemple de cette nouvelle forme de hasard à étudier l’exemple qui deviendra célèbre de la côte de Bretagne, dont la longueur dépend de l’échelle à laquelle on la mesure, et qui possède une dimension non-entière, comprise entre 1 et 2 : elle ne constitue à proprement parler ni un objet à une dimension, ni un objet à deux dimensions, et c’est en acceptant l’idée de dimension non-entière que nous allons pouvoir attaquer ces objets qui ont toujours échappé à notre étude : la théorie fractale est dès cet article officieusement lancée.
 

Les principes en seront publiés avec très grande quantité d’exemples (hydrologie, structure du poumon, granulation des bétons, turbulences en mécanique des fluides, urbanisme des villes, et même… trous du fromage) dans un ouvrage qui fait depuis référence : « Les objets fractals - Forme, hasard et dimension » en 1974. Il y présente au lecteur des objets jusqu’alors peu connus : courbe de Von Koch, éponge de Sierpinski (ou éponge de Menger, ou de Sierpinski-Menger), que les mathématiciens gardaient pudiquement dans leurs tiroirs.
 

Tous ces exemples ont en commun ce que l’auteur nomme une homothétie d’échelle et qu’il désignera quelques années plus tard sous le nom d’autosimilarité (self-similarity).